黎曼

黎曼（1826.9.17—1866.7.20）德國數學家。生于漢諾威的布瑞塞林茲，卒于意大利的色拉斯卡。1846年入格廷根大學，師從高斯。1847—1849年在柏林大學就讀，聽過狄利克雷、雅可比等的講課。1851年獲博士學位。兩年后提出論文〈On the representation of a function by means of a trigonometrical series〉申請哥廷根的（無給）講師職位，1854年在偉大的高斯面前發表就職演說〈On the Hypothesis that forms the foundation of Geometry〉。在這篇演說中，黎曼為此后一百五十年的微分幾何大業指出了方向，立下了基礎，論文的本身不僅是個數學史上的一篇杰作，并且在表達上也是一個典范。1857年黎曼升副教授，1859升教授，并繼承 Dirichlet 的位置。 Dirichlet 在1855年繼承高斯，生前總是盡己所能協助和支持黎曼。 1859年去世以后，33歲的黎曼成為高斯的第二個繼承人。1859年任格廷根大學教授同年當選為德國科學院院士。他的科學成就廣泛，在數論、復變函數論、傅里葉級數、微分幾何、代數幾何和微分方程等方面都有貢獻，并寫過物理學方面得論文。他提出了黎曼積分并創立了黎曼幾何，后者為愛因斯坦得廣義相對論提供了最合適得數學工具。他著作主要有《單復變函數得一般理論得基礎》、《數學物理的微分方程》和《橢圓函數論》等。

他的具體成就有:

一、復變函數論 黎曼和柯西及魏爾斯特拉斯被公認為復變函數論三大奠基人.而黎曼:

1 通過復變函數的導數定義,建立復變函數論的基礎 2 對多值函數定義黎曼曲面 3 黎曼曲面的拓撲(黎曼是第一個研究曲面拓撲的人,他引進橫剖線的方法來研究曲面的連通性質) 4 黎曼曲面上的函數論(黎曼研究的基本問題是黎曼曲面上函數的存在性及唯一性問題.他比以前數學家的先進之處在于,函數的存在不必通過構造出解析表達式來證明,黎曼可以通過其奇點來定義,這對后世數學有重要影響.) 5 狄利克雷原理(黎曼給出其證明并有效地表述及運用狄利克雷原理,這個原理是他從狄利克雷的課程中學來的)

二、阿貝爾函數論 關于阿貝爾函數,黎曼發表過兩篇文章:一是<阿貝爾函數論>,一是<論函數的零點>. 1阿貝爾積分的表示及分類(黎曼對由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進行了分類.第一類阿貝爾積分,在黎曼曲面上處處有界.線性獨立的第一類阿貝爾積分的數目等于曲面的虧格p,如果曲面的連通數,這p個阿貝爾積分稱為基本積分.第二類阿貝爾積分,在黎曼曲面上以有限多點為極點.第三類阿貝爾積分,在黎曼曲面上具有對數奇點.每一個阿貝爾積分均為以上三類積分的和. 2黎曼-洛赫定理(這是代數函數論及代數幾何學最重要的定理.黎曼得到的黎曼不等式,是黎曼-洛赫定理的原始形態) 3 黎曼矩陣,黎曼點集和阿貝爾函數. 4 函數及雅可比反演問題(為了研究雅可比簇,黎曼推廣雅可比 函數,引進了黎曼函數. 5 雙有理變換的概念和參模

三、超幾何級數和常微分方程 超幾何微分方程有3個奇點0,1,a,它作為二階微分方程有兩個獨立特解和,其他解均為這兩解的線形組合.黎曼的思想是當,沿繞奇點的路徑變化時必經歷線形變換 對于所有繞奇點的路徑,這些變換組成群.他把結果推廣到m個奇點n個獨立函數的情形,他證明給定線形變換后,這n個獨立函數滿足一個n階線形微分方程,但他沒有證明這些奇點(支點)和這些變換可以任意選取,從而留下了著名的黎曼問題.希爾伯特把他列入23個問題中的第21個問題.

四、 解析理論 黎曼是現代意義下解析數論的奠基者,生前他只在1859年發表過一篇論文<論給定數以內的素數數目>

五、實分析----函數觀念,黎曼積分,傅立葉級數,連續不可微函數 黎曼積分是數學特別是物理應用的主要分析工具;黎曼還是最早認識到連續性及可微性的區別的數學家之一.

六、幾何學 黎曼的空間觀念使數學及物理發生空前的變革.黎曼的幾何論文有兩篇,一篇是他的授課資格的演講,另一篇是所謂<巴黎之作>,即<論熱傳導問題>